คณิตศาสตร์

       ฟังก์ชั่น ( Functions )        

ฟังก์ชั่น คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย

การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชั่นหรือไม่
1.ถ้ากำหนดความสัมพันธ์แบบแจกแจงสมาชิก สามารถตรวจสอบ
ได้โดยดูสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับจะต้องไม่ซ้ำกัน
ความสัมพันธ์นั้นๆ จึงจะเป็นฟังก์ชั่น
2.ถ้ากำหนดความสัมพันธ์แบบกราฟ
วิธีการตรวจสอบ ให้ลากเส้นตรงขนานกับแกน y ตัดกราฟของความสัมพันธ์นั้น
- ถ้าตัดกราฟเพียงจุดเดียว    : แสดงว่า ความสัมพันธ์นั้น เป็นฟังก์ชั่น
- ถ้าตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด : แสดงว่า ความสัมพันธ์นั้น ไม่เป็นฟังก์ชั่น

3. ถ้ากำหนดความสัมพันธ์แบบบอกเงื่อนไข สามารถตรวจสอบได้หลายวิธี เช่น วิธีวาดกราฟ วิธีพิจารณาคู่อันดับ เป็นต้น

การใข้สัญลักษณ์ค่าของฟังก์ชั่น f ที่ x
ในกรณีที่ความสัมพันธ์ f เป็นฟังก์ชั่น เราสามารถเขียน y = f(x) แทน (x,y) ∈ f  ได้ และเรียก f(x) ว่าฟังก์ชั่น f ที่ x อ่านว่า เอฟที่เอ็กซ์ หรือ เอฟเอ็กซ์
จาก ( x , y ) ∈ f  เขียนแทนได้ด้วย ( x , f(x) ) ∈ f

โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์หรือฟังก์ชั่น ( Domain and Range )
     
บทนิยาม : ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
     
โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Dr
     
เรนจ์ของ  r  คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับใน r เขียนแทนด้วย Rr

     

ถ้า r เป็นความสัมพันธ์ และ (x,y) ∈ r
     

ถ้าต้องการหา Dr ให้จัดสมการในรูป y = เทอมของ x แล้วพิจารณา x
     

ถ้าต้องการหา Rr ให้จัดสมการในรูป x = เทอมของ y แล้วพิจารณา y

กราฟของความสัมพันธ์หรือฟังก์ชั่น ( Domain and Range )
       

ในระบบแกนมุมฉาก สามารถจับคู่หนึ่งต่อหนึ่งระหว่างคู่อันดับของจำนวนจริงกับจุดในระนาบ โดยให้ x เป็นพิกัดแรก และ y เป็นพิกัดหลัง และให้นิยามกราฟของความสัมพันธ์ได้ดังนี้
      

 บทนิยาม : ให้ R เป็นเซตของจำนวนจริง และ r เป็นสับเซตของ R x R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบโดยที่จุดแต่ละจุด แทนสมาชิกของความสัมพันธ์ r 

ฟังก์ชั่นเชิงเส้น (Linear function)   คือ ฟังก์ชั่นที่อยู่ในรูป f(x) = ax+b  เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงเช่น f(x) = 2x+1
f(x) = -3x
 f(x) = x-5 เป็นต้น

กราฟของฟังก์ชั่นเหล่านี้เป็นเส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกน ฟังก์ชั่นเชิงเส้น f(x) = ax+b เมื่อ a=0 จะได้ฟังก์ชั่นอยู่ในรูป f(x) = b ฟังก์ชั่นนี้มีชื่อเรียกเฉพาะว่า ‘‘ ฟังก์ชั่นคงตัว ’’ (Constant function) กราฟของฟังก์ชั่นคงตัวจะเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน x เช่น f(x) = 4 , f(x) = -2 เป็นต้น